[第1回] 数学解法研究 ― 特別角を含む三角形~ベストな解法はどれ?

問題

SAPIXの双方向授業

皆さんは上の問題の解法を何種類、思いつくでしょうか。多くの生徒がまず思いつくのが、3辺PQ、PR、QRの長さを調べることで、答えを得る方法です。もちろん、その方法でも答えに至ることができますが、授業では、それで満足してしまうのではなく、よりスマートに解くことができないかどうか、クラス全体で粘り強く考え続けます。

SAPIXの授業の特徴は、双方向型のコミュニケーション授業で、生徒の意見をもとに解法が組み立てられていきます。主体的な授業参加によって、たくましい思考力が育っていくのです。そんなSAPIXの授業を実践するうえで、いくつもの解法が考えられる上記の問題は、たいへんよい問題だと思います。

50分間考え続けたこの一問

先日の授業では、この一問に50分の時間を使い、授業はたいへん盛り上がりました。図中の△PQRは、実は直角二等辺三角形なのですが、そこに至る道筋が、議論の中からいくつも見つかっていきました。角度に注目し、∠QPB+∠RPC=90°であることを導く。線分BG、ECの交点をSとするとき、点A、E、B、Sが共円点であることを利用する。実にさまざまな解法を発見することができました。

仲間の発想から学ぶ

数学の問題を解くには、発想力が大切です。点Pが辺BCの中点であるという条件から、何を連想するか。この問題では、その事実から△CPRと△CBGの相似に思い至らなければなりません。「私は数学のセンスがない」と諦める生徒がいますが、こうした発想力は訓練で身につけることができます。仲間の発想に触れ、自らも試行錯誤を繰り返すことが大切なのです。

授業の終盤、△ABGを90°回転移動させたのが、△AECであることに気づいた生徒がいました。その生徒いわく「だから、線分BGとECは90°で交わりますよね」。実にスマートな解法です。

下記に生徒たちが考えた解法をまとめました。とてもおもしろい問題ですので、挑戦してみてください。

生徒たちの発想から生まれた解法
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