埼玉県立高校【数学】出題例と分析・解説

特殊記号再び「ハニードーナツの問題」(数学2016年)

大問1(11)②

花子さんは、ハニードーナツを買うことにしました。ハニードーナツは1個100円で販売されていますが、箱入りでも販売されています。1箱に6個入っていて、値段は550円です。また、3個買うごとに、おまけとしてハニードーナツが1個もらえます。
おまけを含めてちょうど40個持ち帰るには、いくら払えばよいですか。最も安い金額を答えなさい。ただし、消費税は考えないものとします。

与えられた条件から、個数と値段の関係を整理します。

個数 値段 1個あたりの値段
A 5個まで 1個100円 100円
B 6個セット 1箱550円 約91.7円
C 19個セット
3箱(18個)+おまけ1個
3個1650円 約86.8円

問題文には最も安い金額とあって、上の表からわかるように、優先すべきはCで、次にB、残りがAの順です。まずはごっそりCの束で取って、次にBのまとまりを除きます。

1. i)例えば8個を最も安い値段で買うならば、

C B A
0 1 2

B+A×2=550×1+100×2=750(円)

ii)もし26個ならば、26=19+6+1

C B A
1 1 1

C+B+A=1650+550+100=2300(円)
となります。

iii)さてそうすると設問ではどうなるでしょうか。
40=19×2+6×0+2と分けられるので、

C B A
2 0 2

1650×2+100×2=3500(円)
が答えです。

2. 19の位、6の位、1の位との位どりをした数、と見立ててもおもしろいかもしれません。
ハニードーナツ数とします。
i)8のハニードーナツ数→012
ii)26のハニードーナツ数→111
iii)40のハニードーナツ数→202

ただし、持ち帰れない個数があることに注意します。18個、37個、56個、75個、…、という‘19の倍数-1’がそうです。 つまりハニードーナツ数は、6の位は0、1、2のいずれかで、1の位は0~5までの数です。

3. さてこれを、2015年大問1(11)と同じ特殊記号を使って表すとどうなるでしょうか。
持ち帰るハニードーナツの個数をxとして、最も安い金額は、

Cに関わる金額…数式1

Bに関わる金額…数式2

Aに関わる金額…数式3

より、値段は、

数式4

となり、x=40のときの値段は、

数式5

数式6だから、

数式7

数式8だから、

数式9

このように計算されます。

「ラグランジュ・リゾルベント」を活用しての二次方程式の解法(数学2015年)

大問1(5)

2次方程式5x2-3x-1=0を解きなさい。

皆さんはどのように解きますか。「暗記の解の公式派?」「変形を駆使する平方完成派?」「それとも…」というので、今回はその第3の方法を紹介します。

解法

係数が有理数の二次方程式において、2解をpqpq)とします。それを次のように変形し、

p12{(pq)+(pq)}、q12{(pq)-(pq)}

ここからx12{(pq)±(pq)}となるから、

つまり二次方程式の解は、
★2解の和 (pq
☆2解の差 (pq
の結合として表すことができます。

この形をラグランジュ・リゾルベントといいます。
(★が‘有理数部分’、☆が‘無理数となりうる部分’を形成しています。)

「うるう年と曜日」の特殊記号による計算(数学2015年)

大問1(11)

次は、先生とAさんの会話です。これを読んで、下の①、②に答えなさい。

先生「Aさんの誕生日は3月2日でしたね。」
Aさん「はい、私は西暦2000年生まれで、今年(西暦2015年)15歳になります。西暦2000年は、うるう年だったと思うのですが、うるう年について教えてください。」
先生「うるう年は、次のように決められています。」

(Ⅰ)西暦の年数が4で割り切れる年をうるう年とする。
(Ⅱ)ただし、西暦の年数が4で割り切れても、100で割り切れる年はうるう年としない。
(Ⅲ)ただし、西暦の年数が100で割り切れても、400で割り切れる年はうるう年とする。

先生「うるう年は、2月の日数が1日増えて2月29日までとなり、1年間の日数が366日となります。」

①省略
②Aさんの15歳の誕生日(西暦2015年3月2日)は月曜日です。Aさんの誕生日が、再び月曜日になるのは西暦何年ですか。途中の説明も書いて答えを求めなさい。(5点)

(Ⅱ)は西暦2100年、(Ⅲ)は西暦2400年としばらく出てこないので、(Ⅰ)にのみ注意を払い、進めていきます。

‘1年間の日数’と‘曜日の移行’を次の表のようにまとめました。

西暦 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
1年間の日数 365 ☆366 365 365 365 ☆366 365
日数を7で割ったあまり 2 1 1 1 2 1
3月2日の曜日

☆印はうるう年

曜日の周期は7ですから、“7で割ったあまりの数”により、その分だけ上記のように曜日が移行します。したがって本問の解答は西暦2020年です。
このことは、西暦2016年~2020年までの“7で割ったあまりの数”に注目すれば、その和SはS=2+1+1+1+2=7であり、周期が1周りすることからも確認できます。
さてここで、西暦2015年を基準としてSを導く式を考えてみました。
※記号[x]はxを越えない最大の整数を表すとします。いわゆる‘切り捨て’と考え、5/3=1、[2]=2です。

すると、
n=(n-2015)+数式1
と表すことができます。

n=2020ならば、
2020=(2020-2015)+数式2
=(2020-2015)+(505-503)-(20-20)+(5-5)
=7
となり、このように西暦2020年までに7日ずれることを容易に求めることができます。

ちなみに西暦2100年3月2日の曜日は、
2100=(2100-2015)+数式3
=(2100-2015)+(525-503)-(21-20)+(5-5)
=106
この値を7で割ると1あまるので、火曜日となります。

「円の性質から導く作図の問題」(数学2014年)

大問2(2)

下図のように、線分AB、BCがあります。
∠ABP=∠CBPとなる点Pのうち、点Cから最も近い点をコンパスと定規を使って作図しなさい。(5点)

図1
図2
点Pは∠ABCの二等分線上にあり、それは【図2】の赤線です。
この上にあって点Cに最も近い点は、点Cから引いた垂線の足です。

作図の一例

線分BAを延長しBCを等辺とする二等辺三角形を作る【図3】は最も易しく、【図4】は一般的。【図5】のBCを直径とする円を描き、直角の円周角を利用するのも妙案です。
皆さんはどのように描きましたか?

図3・4・5

さて、円を手助けした【図5】の構図は、さまざまな場面へと発展させることができます。ここではそれに関連する2題を紹介するので、意欲ある人はチャレンジしてください。

(2①)(2)より続けて直線AB上に点Cと最も近い点Qをとるとき、PQ=PCを示しなさい。

(2②)(2)のBP上に△RCSが正三角形となるような2点R、Sをとるとき、点Rを作図しなさい。ただし点RはBに近いほうとします。

(2①)(2②)の言わんとしていることは【図6】【図7】です。

図6・7
図8

(2①)は、点Qは点Cから直線BAへ下ろした垂線です。
∠BQC=∠BPCから、4点Q、B、C、Pは同一円周上にあることを利用します【図8】(この円は【図5】と同一)。
∠QBP=∠QCP
∠CBP=∠CQP
ここで題意より∠QBP=∠CBPだから、
△PQCにおいて、∠QCP=∠CQPとなって、
∴ PQ=PC

図9
図10
(2②)は【図9】のように垂線CPにより正三角形を半分にし、この太線で囲まれた三角形を作図により生み出します。
CRの延長と【図5】の円周の交点Tは、△TOPを正三角形とする点です【図10】。
つまり弧TPの中心角TOPは60°だから、その円周角TCPは30°です。こうして∠C=30°の直角三角形RCPが生み出され、太線の三角形ができあがりました。それに点Rを点Pについて対称に移動した点をSとすれば、△RCSは正三角形となって完成です。
このことにより、BPとTCの交点が題意の点Rです。

最後に次の問題を解いてみます。

(2③)∠ABC=45°のとき、①の△PQCと②の△RCSの面積はどちらが大きいか答えなさい。
図11
BQ<BCより、角の二等分線定理からQU<UCです。つまり△PQCでS2<S1なので、
△PQC=S1+S2<2S1(…*1)
続く△RCSは2△PRCで、
∠QBP=∠QCP=22.5°、
∠RCP=30°より、△PCU<△PCRと分かります。
よって図示では【図11】のような位置関係になり、
△RCS=2△PRC=2(S1+S3)>2S1(…*2)
したがって*1、*2より、
△PQC=S1+S2<2S1<2(S1+S3)=△RCS
∴ △PQC<△RCS

「階段上りをグラフで視覚化する」(数学2014年)

大問2(3)

下の段から順に1から8の番号をつけた階段があります。1から6までの目が出るさいころを投げ、

  • 奇数の目が出たときは、その目の数だけ1段ずつ階段を上る
  • 偶数の目が出たときは、その目の数に関係なく1段だけ階段を下りる

このように階段上を移動します。

ただし、8番の段に達したときに、階段を上る数が残っていれば、8番の段から残っている数だけ1段ずつ階段を下ります。

例えば、6番の段にいるときに5の目が出た場合、2段上ると8番の段に達します。階段を上る数が3残るので、3段下りて5番の段に着きます。

大問2(3)図1

いま、4番の段にいるAさんがさいころを2回投げて、ちょうど8番の段に着くさいころの目の出方は全部で何通りあるか求めなさい。(5点)

大問2(3)図2

さいころの目の出方によるところの、階段を‘上る’‘下りる’を整理します。

解説図1

さいころを2回投げ達する段の番号を一覧表にまとめるのがこの手の問題の定石です。数え過多や不足を防ぐには最良の手段です。

解説図2

その結果、8番の段に着くのは、
(1回目,2回目)=(1,3)、(2,5)、(3,1)、(4,5)、(5,1)、(6,5)の6通りです。

この表から見えてくる事象

一方でこの表から見えてくる性質もあります。
すべて偶数番の段に到達し、その中でも6番が最も多く13通りあること。つまり、もし、「何番に着くか賭ける」としたら、6番にするのが得策というわけです。
また、最上段の8番に着くには2回目が1、3、5に限ること。これは8番には下りてくることはないので、上るケースのみを調べればいいのです。考えれば当たり前かもしれません。
このようにいろいろな事象が見えくるのもまた楽しいことです。

グラフから視覚化するとさらに分かりやすい

ところでこの問題、下記のようなグラフを補助とするのもよいでしょう。

解説図3
解説図4

図のように、番号4を出発点として、

  • 上り…右上がり
  • 下り…右下がり

として、決まった数だけ線上をなぞるように動かし進めます。

こうして線上をたどりながら、番号8の横に並ぶ赤印のいずれかでちょうど止まれば、題意が満たされたことになります。

具体的に、解答となる線上の移動を列記しました。

解説図5・6・7・8

確かに最後はピタリと赤印で静止することが分かります。
こうすることで視覚的に捉えることができるわけです。

投げる回数をさらに増やす

ところで下図は、4回投げて8番に達する一例(3,2,3,1)です。

解説図9

先ほども述べたように、最後の投てきは、1、3、5のいずれかでなければならず、逆算すればその直前は点線上のどこかに載っている必要があります(上の例では番号7)。4回投げる設定だとすると、3回目で番号3、5、7のいずれかに留まっている必要があります。

さて今度は、3回の投てきで番号8に着くことはあるのでしょうか。
それは、2回で点線上に、たどりつくことがあるかどうか調べればいいのです。そのヒントは先ほどのさいころの一覧表にあります。

「解法のアイディアが見通しを示してくれる」(数学 2013年)

大問4

大問4 図
(1)△BJHと△EGFが相似であることを証明しなさい。(7点)
(2)AD=5㎝のとき、線分EFの長さを求めなさい。(6点)
(3)△BJHの面積が2㎠のとき、長方形ABCDの面積を求めなさい。(6点)

この問題、BEを境にして「上部は“四角形の折り返し”、下部は“三角形の折り返し”」と分離してやってしまいそうですが、そうではありません。実は互いの相性がいいのです。そこで、大きさの異なる直角二等辺三角形型の三角定規を2枚用意しましょう。

大問4 解説図

解説図のようにそれぞれを折り返し、はみ出た先端の部分をカットすれば長方形ABCDが現れます。そうなると(1)は明らかです。△BJHと△EGFは、2種類の三角定規の同じ部位を指し示しているのでこれらは対等です。また、相似比は√2:1です。

問題をじっと眺めていると皆さんも折り目HIと折り目BFの関係が気になるでしょう。こちらは解説図よりHI∥BFで、HI=BFも示せます。今回の出題とは直接関わりませんが、注目しておきたい特性です。

さて△BCEへ目を向けます。∠BはBFによって二等分されますから、『角と辺の比の関係(角の二等分線定理)』よりCF:FE=BC:BE=1:√2です。同様に△KABにおいてAH:HB=1:√2であることが分かります。こうすることで、(2)(3)の値を導くための糸口がつかめます。こちらも2枚の三角定規というアイディアの効用といえます。

「構造を読み解き、有名問題を堪能する」(数学 2012年)

大問2(1)

Aさん、Bさん、Cさん、Dさんがプレゼントabcdを持ち寄り、互いに交換するとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさい。(5点)
※ただし自身のものを受け取ることはできない。

“プレゼント交換の問題”などとも称される、撹乱(かくらん)順列の代表作として有名です。今回登場が4人と少ないので書き出しても十分対応できます。ですが撹乱順列をより深く理解するために、人数が2人のときからの経過を、順に追って見ていきます。

そこで、プレゼントを受け取れない組み合わせを< >を使って記すこととします。

Ⅰ.A、Bの2人のとき
<A、B>=<ab
これより有効なのは、A→b、B→a1通り
Ⅱ.A、B、Cの3人のとき
<A、B、C>=<abc
  • (1)Aがbの場合
    • ①…BとCへ、残ったacを置けばよい。
      <B、C>=<bc>なので,これはⅠの状況へ帰することから有効なのは1通り。
  • (2)Aがcの場合も同様で1通り。
これら(1)(2)より2通り
Ⅲ.A、B、C、Dの4人のとき
<A、B、C、D>=<abcd
  • (1)Aがbの場合
    • ①…CとDへ残ったcdを置けばよい。
      <C、D>=<cd>より、Ⅰに帰し1通り。
    • ②…BとCとDへ,残ったacdを置けばよい。
      Bの位置をaとすると①の条件と重なってしまうことに注意して、
      <B、C、D>=<acd>より、Ⅱの状況に帰すので2通り。
      つまり合わせて1+2=3(通り)
  • (2)Aがcの場合も同様に3通り。
  • (3)Aがdの場合も3通り。
以上(1)~(3)より3+3+3=9(通り)
Ⅳ.A、B、C、D、Eの5人のとき
<A、B、C、D、E>=<abcde
  • (1)Aがbの場合
    • ①…CとDとEに、残ったcdeを置けばよい。
      <C、D、E>=<cde>より,Ⅱへ帰すので2通り。
    • ②…BとCとDとEに、残ったacdeを置けばよい。
      Bの位置をaとすると①の条件と重なってしまうことに注意して、
      <B、C、D、E>=<acde>より、Ⅲへ帰すので9通り。
      つまり合わせて2+9=11(通り)。
  • (2)Aがcの場合も同様に11通り。
  • (3)Aがdの場合も11通り。
  • (4)Aがeの場合も11通り。
以上(1)~(4)より11+11+11+11=44(通り)

以上の5人までのケースをまとめてみます。

  • Ⅰの2人…1通り
  • Ⅱの3人…2×Ⅰ=2×1=2(通り)
  • Ⅲの4人…3×(Ⅰ+Ⅱ)=3×(1+2)=9(通り)
  • Ⅳの5人…4×(Ⅱ+Ⅲ)=4×(2+9)=44(通り)

このように続けると6人は265通り、その先は…、と跳ね上がっていくことが知られています。

▼高校範囲へ深入りしたい人は…

「なぜ円を描くのか?」(数学 2012年)

大問3

大問 図

図で、曲線はy=ax²のグラフであり、曲線上に、x座標がそれぞれ-5、5の点A、Bをとります。点Aを通り傾きがこの曲線の式の係数と同じaである直線と、この曲線との交点をDとします。点Bから直線ADへ垂線を引いたときの交点をCとしたときの、点Cのx座標は正であり、△ABCの面積が20cm²となりました。
a>0とし、座標軸の単位は1㎝とします。
(1)aの値を求めなさい。(5点)
(2)省略(6点)

出題当初、盛んに塾や参考書でトピックとして取り上げられた、2012年の埼玉県立入試を代表する難題です。取り上げられた理由は、「△ABCの外接円を描くことで、驚くほどすんなり片付く」という魔法のような円が隠されているからです。もちろんそうしなくても解答できますが、aを含んだ座標を表そうとすると計算が煩雑になりミスをしやすくなります。こうしたことが、円を使った解法をお薦めする理由です。

「なぜ円が出てくるのか?」。ここではその背景となる性質について考えてみます。

本問題にはいくつもの設定条件があります。まずはこれらを整理します。
①aは正なので、二次曲線は上に開く
②線分ABはx軸と平行
③△ABC=20cm²
④∠ACB=90°
⑤点Cのx座標は正
⑥直線ACの傾きaは正

ここでまず、条件⑤⑥を外して考えてみます。

条件③からは、図1のような事柄が分かります。△ABC=20、ABの長さは10なので、点CからABへ引いた垂線の長さは4です。つまり点Cは、『直線ABとの距離が4である直線上』のいずれかに位置する点で、すなわち図のような、直線ABについて対称な2本(赤表示)が考えられます。

次の条件④は問題の核心です。線分ABを見込む∠ACBが90°となる点Cの位置はどこでしょうか。それは図2のようにAB直径とする円周上(赤表示)に位置します。ここで円が出てきました。「なぜ円が出てくるのか?」この理由が明白になったことでしょう。‘∠C直角’が鍵を握っていました。

このことにより③④を同時に満たす点は絞れて、図3のC1~C4の4つに限ります。
この中で、先ほど欠いた条件⑤と⑥を満たす点は次のようになります。

条件⑤を満たすのはC1とC4
条件⑥を満たすのはC1とC3

したがって両者を満たすのは、ただひとつC1になります。

図1・2・3
図4
そこでC1は図4のようにして求めます。三平方の定理を利用することから、x座標は3と決まり、2点A、Cそれぞれのx座標の差は8、y座標の差は4となり傾きaが分かります。
ちなみに、本問では問われていませんが、点C2、C3、C4の各x座標は、-3、-3、3となります。
図5
さて、点Aのy座標は25aなので、aの値の大小によって線分ABは座標平面上を上下し、それに伴い④で用いた円も動きます(右図で色の濃い部分)。ここで直線ADの式は傾きa、点A(-5,25a)を通るのでy=ax+30aとなります。変形するとy=a(x+30)なので、これはaの値に関わらず、点(-30,0)を通ることが分かります。
こうすることで、点Cがどのように動くかがイメージしやすいのではないでしょうか。

▼ちょっと応用

「SAPIX高校受験情報室」― 埼玉県立高校 関連コンテンツ

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